Vertauschen von Grenzübergängen Lösung 1

Die Gleichung ist natürlich so nicht richtig.

Betrachten wir die linke Seite der Gleichung:

    \[ {\lim\limits_{y \rightarrow \infty }({\lim\limits_{x \rightarrow \infty } \frac { x - y }{ x + y }} ) = \lim\limits_{y \rightarrow \infty }({\lim\limits_{x  \rightarrow \infty } \frac {1-\frac{ y}{x}}{1+\frac{ y}{x} }}) = \lim\limits_{y \rightarrow \infty }(\frac{1-0}{1+0}) = \lim\limits_{y \rightarrow \infty } 1 =  1} \]

Für die rechte Seite gilt:

    \[ {\lim\limits_{x \rightarrow \infty }({\lim\limits_{y \rightarrow \infty } \frac { x - y }{ x + y }} ) = \lim\limits_{x \rightarrow \infty }({\lim\limits_{y \rightarrow \infty } \frac {\frac{ x}{y}-1}{\frac{ x}{y}+1 }}) = \lim\limits_{x \rightarrow \infty }(\frac{0-1}{0+1})= \lim\limits_{x \rightarrow \infty } -1 =  -1} \]

Da 1 \neq -1   ist, heißt das, dass der Grenzwert im Allgemeinen nicht vertauscht werden darf.